Exponentialabbildung

Die Exponentialabbildung ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie, insbesondere aus den beiden Teilgebieten der riemannschen Geometrie und der Theorie der Lie-Gruppen.

Im Bereich der riemannschen Geometrie kann jedem Tangentialvektor ${\displaystyle v}$ an eine riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ im Punkt ${\displaystyle p\in M}$ genau eine Geodäte ${\displaystyle \gamma _{v}}$ mit ${\displaystyle \gamma _{v}(0)=p}$ und ${\displaystyle \gamma _{v}^{\prime }(0)=v}$ zugeordnet werden. Dies folgt aus der Differentialgleichung für Geodäten und gilt lokal um ${\displaystyle p}$. Die Exponentialabbildung von ${\displaystyle v}$ im Punkt ${\displaystyle p}$, geschrieben als ${\displaystyle \exp _{p}(v)}$, bezeichnet dann den Punkt ${\displaystyle \gamma _{v}(1)}$. Mit dieser Abbildung kann eine Umgebung eines Punkts der Mannigfaltigkeit mit einer Umgebung der Null im Tangentialraum an diesem Punkt identifiziert werden. Dies führt zu den riemannschen Normalkoordinaten.